Akademik Veri Yönetim Sistemi
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2007
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: GÖKSAL BİLGİCİ
Danışman: ALİ BÜLENT EKİN
Özet:Pozitif n tamsayısının bir ayrı¸sımı, λ1, λ2, ..., λr ¸seklinde pozitif tamsayıların artmayan bir dizisidir ¨oyle kiXr i=1 λi = n dir. n nin ayrı¸sımları sayısı p(n) ile g¨osterilir. n p(n) o n≥0 dizisinin ¨urete¸c fonksiyonu X∞ n=0 p(n)q n serisidir ve X∞ n=0 p(n)q n = Y∞ r=1 1 1 − q r (|q| < 1) dir. Ramanujan 1919 yılında p(5 n + 4) ≡ 0 (mod 5), p(7 n + 5) ≡ 0 (mod 5) ve p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11) kongruanslarını vermi¸s ve analitik olarak ispatlamı¸stır. 1954 yılında m = 5, 7 ve 11 mod¨ulleri i¸cin p(mn + k) formundaki sayıların kongruans ¨ozellikleri, Atkin ve Swinnerton-Dyer tarafından hesaplanmı¸stır. Atkin ve Swinnerton-Dyer temel olarak, X∞ n=0 p(n)q n serisini, katsayıları y de (y := q m) kuvvet serileri olan q nun (m − 1)- dereceden bir polinomu olarak ele almı¸slardır. Bu ¸calı¸smada, Y∞ r=1 1 1 − q r sonsuz ¸carpımı m = 5, 7, ve 11 durumları i¸cin yukarıda belirtti˘gimiz tipte bir polinom olarak ifade edilmi¸stir. Bu polinom ifadeleri kullanılarak kongruans ¨ozellikleri farklı bir yolla elde edilmi¸stir. Bu ifadelere bakıldı˘gında aralarındaki ili¸skiler farkedilmektedir. Bu ili¸skiler SL2(Z) mod¨uler grubunun bir kongruans altgrubunun hareketi ile a¸cıklanmı¸stır. Son olarak, polinom katsayılarını sadele¸stirmek i¸cin Atkin ve Swinnerton’ın verdi˘gi kullanı¸slı bir ¨ozde¸slik, eliptik fonksiyonlar ve theta fonksiyonları teorileri kullanılarak genellestirilmistir.AbstractA partition of a positive integer n is a finite nonincreasing sequence of positive integers λ1, λ2, ..., λr such that Xr i=1 λi = n. The number of partitions of n is denoted by p(n). The generating function of the sequence n p(n) o n≥0 is X∞ n=0 p(n)q n and it is known that X∞ n=0 p(n)q n = Y∞ r=1 1 1 − q r (|q| < 1). In 1919, Ramanujan gave the congruences p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5), p(7n + 5) ≡ 0 (mod 5) and p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11) and proved them analytically. For modulo m = 5, 7 and 11 congruence properties of the numbers of the form p(mn + k) were calculated by Atkin and Swinnerton-Dyer in 1954. Basically, Atkin and SwinnertonDyer considered the series X∞ n=0 p(n)q n as a polynomial of degree m − 1 in q, whose coefficients are power series in y (y := q m). In this work, the infinite product Y∞ r=1 1 1 − q r is expressed as a polynomial of the type stated above, for the cases m = 5, 7, and 11. Using these polynomial expressions, we obtained the congruence properties in a completely different way. By looking at these expressions one can realize the relations between them. These relations have been explained by an action of a certain subgroup of modular group SL2(Z). Finally, an identity given by Atkin and Swinnerton-Dyer, which is very useful to simplify the coefficients of the polynomial expressions, is generalized by using Eliptic functions and theta functions theory.