Akademik Veri Yönetim Sistemi
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2011
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: İLKER AKKUŞ
Danışman: ALİ BÜLENT EKİN
Özet:1999 yılında R.S. Melham tarafından yapılan bir çalışmada, sayılar teorisinde çok iyi bilinen Fibonacci ve Lucas sayılarının kuvvetlerinin toplamlarıyla ilgili özdeşlikler bulundu. Melham bu çalışmasında yeni özdeşlikler elde ederken, Fibonacci ve Lucas sayılarıyla ifade edilen ilginç bir konjektür de ortaya attı. Bu çalışmada Melham'ın ifade ettiği bu konjektürü ele aldık. Azalan Fibonacci faktöryellerle ifade edilen konjektürü fibonomialler cinsinden tekrar yazdıktan sonra q-toplam a dönüştürdük ve bu q-toplamı da çevre integrali yardımıyla hesaplayarak konjektürün ispatını yaptık. Daha sonra yine bu Melham konjektürünü, Fibonacci ve Lucas sayılarının indisleri bakımından ele aldık. Bu fikir bize r-Fibonomial kavramınının ortaya çıkmasını sağladı. Böylece Melham konjektürünün bir genelleştirilmesini elde ettik. Genelleştirdiğimiz bu ifadeyi de q-binom katsayılarıyla yeniden ifade ettikten sonra basit kesirlere ayırma yöntemiyle ispat ettik ki aslında bu yöntem birinci ispat yönteminde kullandığımız çevre integralinden daha basit bir metoddur.AbstractIn 1999, R.S. Melham derived families of identities between sums of powers of the well known Fibonacci and Lucas numbers in number theory. In his work, while deriving these identities, he conjectured an interesting identity among the Fibonacci and Lucas numbers. In this thesis, we consider the Melham's conjecture. After rewriting it by using fibonomial coefficients instead of the "falling Fibonacci factorial", we prove the conjecture by evaluating a certain q-sum using contour integration. It is natural to consider, the conjecture of Melham by using indices in arithmetic progression for both, the Fibonacci and the Lucas instance. This idea leads us to introduce the notion which is called r-Fibonomial. Thus, we give a generalization of the Melham's conjecture, and after restating it in terms of Gaussian q-binomial coefficients, we prove it by using partial fractional decomposition method that is even simpler than the contour integration given in the earlier proof (although it is essentially equivalent).