Akademik Veri Yönetim Sistemi
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2019
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: SERKAN ASLIYÜCE
Danışman: AYŞE FEZA GÜVENİLİR
Özet:Kesirli basamaktan türev düşüncesi tam sayı basamaktan türev kavramı kadar eskidir. Kesirli analiz düşüncesinin başlangıç noktası olarak L’Hospital tarafından 1695 yılında Leibniz’e yöneltilen “x’in 1/2 türevi ne ifade eder” sorusu kabul edilebilir. 20.yüzyılın başlarında, kesirli basamaktan türev operatörü için bazı tanımlar verilmiştir. Bu tanımların en bilinenleri Riemann-Liouville, Caputo ve Grnwald-Letnikov türevleridir. Kesirli basamaktan türev ve integralin farklı bilim dallarında uygulamalara sahip olması matematikçileri bu alanda çalışmaya yöneltmiştir. Sürekli durumdaki bu gelişmelere paralel olarak, bazı yazarlar ileri ve geri fark operatörleri için kesirli basamaktan türev ve integral operatörlerinin ayrık analoglarını vermiştir. Matematik ve diğer bilim dallarında eşitsizliklerin sıklıkla kullanılıyor olmasından hareketle bazı yazarlar tarafından eşitsizlikler sürekli ve ayrık kesirli analize aktarılmaya başlanmıştır. Kesirli analizde eşitsizliklerle ilgili olan bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde eşitsizlikler ve kesirli analizle ilgili kısa bir tarihe verilmiştir. Ayrıca, bu bölümde literatürde bilinen bazı eşitsizlikler ifade edilmiştir. İkinci bölümde, kesirli basamaktan operatörlerin tanımları verilmiştir. Sürekli durumda, kesirli basamaktan Riemann-Liouville, Caputo, Grnwald-Letnikov, uyumlu türev ve integral operatörlerinin, ayrık durumda ise kesirli basamaktan ileri ve geri fark, toplam, h-fark ve h-toplam operatörlerinin tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde ise ikinci bölümde tanımları ve bazı özellikleri verilen kesirli basamaktan operatörler kullanılarak Chebyshev, Grss, Jensen ve Wirtinger tipi eşitsizlikler ifade ve ispat edilmiştir. Son bölümde tezin değerlendirilmesi yapılmıştır. The idea of fractional order derivative is as old as ordinary derivative. In 1695, LHospital asked "what would be the one-half derivative of x?" to Leibniz. This conversation can be considered as the starting point of fractional calculus. By the beginning of 20th century, some denitions of fractional order derivatives were introduced, most remarkable ones are Riemann-Liouville, Caputo, and Grnwald-Letnikov derivatives. Since fractional derivation and integration have more exponent applications in di⁄erent disciplines of sciences, many mathematicians start to study of aspects of these concepts. In parallel with the continuous case, some authors established the discrete analogues of fractional order derivative and integral operators, for forward and backward di⁄erence operators. Since inequalities are useful tools in mathematics, many mathematicians started to transfer this inequalities into fractional settings both continuous and discrete cases. This thesis deals with the inequalities on fractional calculus consists of four chapters. In the rst chapter, a brief history about inequalities and fractional calculus is given. Also, some inequalities in the literature are introduced. In the second chapter, the denitions of fractional order operators and basic results related to these concepts are given. In continuous case, fractional order Riemann-Liouville, Caputo, Grnwald-Letnikov, conformable derivative and integral operators are dened. Also, in discrete case forward and backward fractional order di⁄erence, h-di⁄erence, sum and h-sum operators are dened. In the third chapter, using the fractional order concepts dened in the previous chapter, some results about Chebyshev, Jensen, Wirtinger and Grss type inequalities are presented. In the last section, the thesis is evaluated.