Akademik Veri Yönetim Sistemi
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2015
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: GAMZE ANDAÇ
Danışman: GÜLEN BAŞCANBAZ TUNCA
Özet:[0,1] aralığında sürekli, reel değerli bir f ∈C[0,1] fonksiyonu için B_{n}(f;x)=∑_{k=0}ⁿ(n/k)x^{k}(1-x)^{n-k}f(k/n), n∈ℕ ifadesine n-inci dereceden Bernstein polinomu denir. B_{n}(f;x), derecesi ≤n olan x in bir polinomudur ve Bernstein tarafından, Weierstrass'ın yaklaşım teoreminin basit bir ispatını vermek için inşa edilmiştir. Weierstrass yaklaşım teoreminin en yapıcı ispatları, bazı lineer pozitif operatör dizilerini kullanır. (Bir V lineer fonksiyon uzayı üzerinde tanımlı olan L lineer operatörü, her f∈V, f≥0 için L(f)≥0 koşulunu sağlıyorsa pozitiftir denir). C[0,1] üzerindeki lineer pozitif operatörler sınırlı olmaktadır. Herhangi bir lineer pozitif operatör, sabitlenen bir noktaya göre bir lineer pozitif fonksiyonel olarak dikkate alınabilir. Tezde, bu uzayda tanımlı lineer pozitif fonksiyonellerin bazı özellikleri araştırılmıştır. Bu doğrultuda, önce konuya hazırlık niteliğindeki temel kavramlar, teoremler verilerek, Bernstein polinomlarının Stieltjes integral formundaki ifadesi elde edilmiştir. C[0,1] üzerindeki herhangi bir sürekli lineer fonksiyonelin, g sınırlı salınımlı bir fonksiyon olmak üzere, Φ(f)=∫₀¹f(x)dg(x) Rieman-Stieltjes integrali formunda bir gösterime sahip olduğunu ifade eden Riesz teoreminin, Bernstein polinomları kullanarak elde edilen ispatı verilmiştir (Natanson 1964)AbstractFor a continuous real valued function f defined on the closed interval [0,1], the expression B_{n}(f;x)=∑_{k=0}ⁿ(n/k)x^{k}(1-x)^{n-k}f(k/n), n∈ℕ is called the Bernstein polynomial of degree n for the function f. B_{n}(f;x) is a polynomial in x of degree ≤n. The polynomials B_{n}(f;x) were introduced by S. Bernstein to give an especially simple proof of the approximation theorem of Weierstrass. The most constructive proof of Weierstrass approximation theorem uses some linear positive operator sequence. (A linear operator L defined on a linear space of functions V, is called positive, if L(f)≥0, for all f∈V, f≥0). Linear positive operators on C[0,1] is bounded. If any point is kept fixed then linear positive operator may be considered as a linear positive functional. In this thesis, it is intented to investigate the properties of linear positive functionals defined on C[0,1]. In this context, first giving the basic concepts and theorems of the preparatory subject in the Stieltjes integral form of Bernstein polynomial expression will be obtained. The proof of the Riesz representation theorem, which states that any linear continuous functional Φ(f) defined on the space C[0,1] has the Riemann-Stieltjes integral represantation Φ(f)=∫₀¹f(x)dg(x), where g(x) is a function of bounded variation, will be given by using Bernstein polynomials (Natanson 1964).